У Демокріта всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначених матеріальних уявах. Ідеальні площини, лінії, точки в його навчанні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл на найтонші листочки (площини), площин - на найтонші нитки (лінії), ліній - на дрібні зернятка (атоми). Кожний атом має малий, але ненульовий розмір і далі неподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що утримуються в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому обсязі простору не нескінченне, хоча і настільки велике, що недосяжне почуттям. Отже, головною відмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше є заперечення ним безкінечної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірності теоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих уяв, як це робив Протагор. Так, на міркування Протагора про торкання окружності і прямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, що є відправним критерієм Протагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянка торкання; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвому аналізу, а ставиться до області істинного пізнання.
Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда, немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про обсяг конуса і піраміди. Не можна з упевненістю сказати, чи користувався він при рішенні цієї задачі методами аналізу нескінченно малих. А.О.Маковельский пише: "Демокріт вступив на шлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Проте, підійшовши впритул до поняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Він не припускає безмежного збільшення кількості складових, що утворять у своїй сумі даний обсяг. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддається численню внаслідок своєї величезності число цих складових".
Видатним досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.
Платонівський ідеалізм
Твори Платона (427-347 р. до н.е.) - унікальне явище у відношенні виділення філософської концепції. Це високохудожнє, що захоплює опис самого процесу становлення концепції, із сумнівами і непевністю, часом із безрезультатними спробами вирішення поставленого питання, із поверненням до вихідного пункту, численними повтореннями і т.п. Виділити у творчості Платона якийсь аспект і систематично викласти його досить складно, тому що потрібно реконструювати думки Платона з окремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часом перетворюються у свою протилежність.
Платон неодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завжди оцінювалася їм дуже високо: без математичних знань "людина з будь-якими природними властивостями не стане блаженним", у своїй ідеальній державі він припускав "затвердити законом і переконати тих, що мають намір зайняти в місті високі посади, щоб вони тренувались у науці числення". Систематичне широке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи з діалогу "Менон", де Платон підводить до основного висновку за допомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнання є пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.
Значно в більшій мірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона. Проблема будови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування: світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речі безупинно виникають і гинуть. Щирим буттям володіє світ ідей, що безтілесні, нечуттєві і виступають стосовно речей як їхньої причини й уяви, по котрим ці речі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлює математичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що вічні і нерухомі, а від ідей - тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною, ідея ж всякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками є велике і мале, а в якості сутності - єдине, тому що ідеї (вони ж числа) утворюються з великого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ, відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний у діалозі "Тимей". Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, що Творець був добре знайомий із математикою і на багатьох етапах створення істотно використовував математичні положення, а часом і виконував точні обчислення.
За допомогою математичних відношень Платон намагався охарактеризувати і деякі явища громадського життя, прикладом чого може служити трактування соціального відношення "рівність" у діалозі "Горгій" і в "Законах". Можна заключити, що Платон істотно спирався на математику при розробці основних поділів своєї філософії: у концепції "пізнання - пригадування", навчанні про сутність матеріального буття, про устрій космосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи. Так у чому ж полягала його концепція математики?
Відповідно до Платона, математичні науки (арифметика, геометрія, астрономія і гармонія) даровані людині богами, що "зробили число, дали ідею часу і збудили потребу дослідження всесвітом". Споконвічне призначення математики в тому, щоб "очищався і пожвавлювався той орган душі людини, розстроєний і осліплений іншими справами", що "важливіше, чим тисяча очей, тому що ним одним споглядається істина". "Тільки ніхто не користується нею (математикою) правильно, як наукою, що приводить неодмінно до існуючого". "Неправильність" математики Платон бачив насамперед у її придатності для вирішення конкретних практичних задач. Не можна сказати, щоб він взагалі заперечив практичну придатність математики. Так, частина геометрії потрібна для "розташування таборів", "при всіх побудовах, як під час самих боїв, так і під час походів". Але, на думку Платона, "для таких речей .достатня мала частина геометричних і арифметичних вирахувань, частина ж їх велика, що простирається далі, повинна .сприяти найлегшому засвоєнню ідеї блага". Платон негативно відзивався про ті спроби використання механічних методів для рішення математичних задач, що мали місце в науці того часу. Його незадоволеність викликала також прийняте сучасниками розуміння природи математичних об'єктів. Розглядаючи ідеї своєї науки як відбиток реальних зв'язків дійсності, математики у своїх дослідженнях поряд з абстрактними логічними міркуваннями широко використовували почуттєві уяви, геометричні побудови. Платон усіляко намагається переконати, що об'єкти математики існують відособлено від реального світу, тому при їхньому дослідженні неправомірно удаватись до почуттєвої оцінки.
Завантажити реферат