Середні Значення

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у якихвиміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,

або (- знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березнятемпература повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо:

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м'яча в корзину накожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Розв'язання.

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

Для другого учня:

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього. Різниця х —може бути від'є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою

,де

fi — частота повторення результату xi.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.

Таблиця 3