В найпростішому випадку, при 
, функція 
просто замінюється сталою 
, де 
– будь-яка точка у проміжку 
, скажемо, середня: 
. Тоді наближено
(4)
Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.
При 
функція замінюється лінійною функцією 
, яка має однакові з нею значення при 
и 
. Якщо взяти 
, 
, то
(5)
і, як легко обчислити,
Таким чином, тут ми наближено вважаємо
На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.
Менш тривіальний результат отримаємо взявши 
. Якщо покласти 
, 
, 
, то інтерполяційний многочлен 
буде мати вигляд
(7)
За допомогою легкого обчислення вираховуємо
і, аналогічно
,
.
Таким чином, приходимо до наближеної формули
.
Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.
Збільшуя степінь 
інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.
Дроблення проміжку.
При обчисленні інтегралу 
можно зроботи так. Розіб'ємо спочатку проміжок 
на деяке число, 
, рівних проміжків
,
в зв'язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми
(9)
Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).
Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2).
Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище,
, 
, 
.
Ми отримаємо
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули
(10)
Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.
Залишковий член формули прямокутників.
Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая (по формулі Тейлора) за степенями двочлена 
аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень 
в
, де 
міститься між та 
і залежить від .
Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від 
до 
, то другий член зправа зникне, бо
(11)
Таким чином, отримаємо
,
так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд
.
Позначив через 
і 
, відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції 
у проміжку і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати
Завантажити реферат