Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції - Курсова робота

,

де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно

. (12)

Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу

.

Додавнши ці равенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях

,

де вираз

і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз

також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції .

Тому остаточно маємо

(13).

При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як .[1]

Залишковий член формули трапеції.

Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати

.

Інтегруя цю формули від до , знайдемо

, так що залишковий член формули (6) буде

.

Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо

.

Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин

(14).

Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменьшуеться приблизно як . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти

(15).

Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.

Вираз

, яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам , і двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.

Тепер проінтегрувавши цю равність від до ; ми знайдемо, що

так як

.

Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

, користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді[2]: