1.У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежетись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від’їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадрату дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:
х² - 4х + 10 = 0 х₁,₂=2±Ö-6.
тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, прєданням до неї нових так, щоб у розширеній множині крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язано лише у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовільнятися такі вимоги:
1) озачення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;
2) для нових чисел повині виконуватись п’ять законів прямих арифметичних чисел (пригадайте ці закони);
3) у новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння
х²=-1.
Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння х²=-1 мало розв’язок, необхідно внести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша буква латинського слова imaginarius – уявний). Підкреслимо, що рівність і²=-1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bί (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bί (сумма дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявну одиницю).
Отже, нова множина множина чисел повина містити всі числа виду a + bί.Числа виду a + bί, де a і b – довільні дійсні числа, аί – уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число a називають дійсною частиною числа a + bί , а вираз bί – уявною.
Число називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7ί дійсна частина 6, уявна 7. Коефіціент при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + 3ίє число нуль, а уявною – вираз 3ί; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду a + 0ί ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0ί=a. Таким чином виконується обов’язкова для будь – якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий “запас” входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь – якому розширення поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій – додавання і множення.
Два комплексних числа a + bί і c + dίрівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c і b=d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.
Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10ί чи 3ί, 2+5ί чи 5+2ί.
Важливим є поняття про спяжені комплексні числа. Числа a + bί і a - bί, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа a + bί і a - bί, які відрізняються лише знаком уявної частини, називають спряженими.
Наприклад, спряженими є комплексні числа 4+3ί та 4-3ί; 2-ί та 2+ί; -8+7ί та –8-7ί;-5-ί та –5+ί. Якщо дане число 6ί, то спряженим до нього є –6ί. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0ί=11-0ί.
2.Дії над комплексними числами.
а) додавання комплексних чисел.
Означення: сумою двох комплексних чисел a + bί і c + dί називається комплексне число (a + c) + (b + d)ί, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bί) + (c + dί) = (a + c) + (b + d)ί.
Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:
1) (3+2ί) + (-1-5ί) = (3-1) + (2-5)ί = 2-3ί
2) (4-5ί) + (2-ί) = (4+2) + (-5-1)ί = 6-6ί
3) (2+3ί) + (6-3ί) = (2+6) + (3-3)ί= 8
4) (10 – 3ί) + (-10+3ί) = (10-10) + (-3+3)ί = 0
З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0ί. Справді, яке б не було число , справедлива рівність
(a + bί) + (0+0ί) = (a +0) + (b +0)ί = a + bί
За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bί та -a - bί, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.
Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z₁ = a + bί, z₂= c + dί. Тоді z₁+ z₂ = (a + bί) + (c + dί) = (a + c) + (b+d )ί , z₂+ z₁ = (c + dί) + (a + bί) = (c + a) + (d+b)ί. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b+d = d+b, тобто (a + c) + (b+d)ί = (c + a) + (d+b)ί , то z₁ + z₂ = z₂+ z₁, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.
б) віднімання комплексних чисел.
Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.
Означення. Різницею двох комплексних чисел z₁= a + bί і z₂ = c + dί називається таке комплексне число z₃= x+yί , яке в суммі з z₂ дає z₁.
Отже, z₁- z₂= z₃, якщо z₃ + z₂= z₁. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.
Доведемо, що для будь – яких комплексних чисел z₁= a + bί і z₂ = c + dί різниця z₁- z₂ визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃= x+yί, яке в сумі з z₂ дає z₁.
За означенням дії віднімання, (c + dί) + (x+yί) = a + bί. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:
(c + x) + (d + y)ί = a + bί (1).
Завантажити реферат