Комплексні числа

З умови рівності двох комплексних чисел маємо:

c + x = a

d + y = b

Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b – d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(a + bί) – (c + dί) = (a - c) + (b – d)ί

Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.

1) (3+4ί) – (1+2ί) = (3-1) + (4-2)ί = 2 + 2ί;

2) (-5+2ί) – (2+ί) = (-5-2) + (2-1)ί = -7+ί;

3) (6+7ί) – (6-5ί) = (6-6) + (7+5)ί = 12ί;

4) (0,3+2,5ί) – (-0,75+1,5ί) = (0,3+0,75ί) + (2,5-1,5ί) = 1,05+ί;

5) (Ö2-2ί) – (Ö2+3ί) = (Ö2-Ö2) + (-2-3)ί = -5ί;

6) 1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

в) Множення комплексних чисел.

Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bί і c + dί називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)ί . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bί)( c + dί) = ac + adί + bcί + bdί² = ac + (ad + bc)ί + bdί². Замінюючи, за означенням, ί²на –1, дістанемо: bdί² = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

(a + bί)( c + dί) = (ac - bd) + (ad + bc)ί (2)

Формулу (2) не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bί і c + dί з наступною заміною ί²на –1.

Приклади: Виконити множення комплексних чисел.

1) (4-5ί)(3+2ί) = 12+8ί -15ί -10ί²= 12+10-7ί =22-7ί;

2)(Ö3-ί)(Ö2+Ö5ί) = Ö6-Ö2ί+Ö15ί-Ö5 ί²= (Ö6+Ö5) + (Ö15-Ö2)ί;

3)8ίх3ίхÖ3 = -24Ö3;

4)(2-ί)(-5) = -10+5ί;

5)(-4-3ί)(-6ί) = -18+24ί.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.

Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bί)( a - bί) = a² - (bί)² = a² -b²ί² = a² + b², тобто (a + bί)( a - bί) = a² + b².

Приклади: Обчислити добуток.

1) (3+5ί)(3-5ί) = 9+25 = 34;

2) (2+ί)(2-ί) = 4+1 = 5;

3) (4+Ö3ί)(4-Ö3ί) = 16+3 = 19;

4) (Öх+Öуί)( Öх-Öуί) = х+у;

5) (3/4+2/5ί)(3/4-2/5ί) = 9/16+4/25 = 289/400.

Читаючи рівність (a + bί)( a - bί) = a² + b² справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь – яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно – спряжених множників.

Приклади: Розкласти на множники двочлени.

1) а+9 = (а+3ί)(а-3ί);

2) 16m²+25n² = (4m+5nί)(4m-5nί);

3) 49+36 = (7+6ί)(7-6ί);

4) а+16 = (Öа+4ί)( Öа-4ί);

5) в+7 = (Öв+Ö7ί)( Öв-Ö7ί).

г) Ділення комплексних чисел.

Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.

Означення. Часткою комплексних чисел z₁ = a + bί та z₂ = c + dί називеється таке комплексне число z₃= x+yί, яке при множенні на z₂ дає z₁.

Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.

Доведемо, що частка комплексних чисел z₁ = a + bί та z₂ = c + dί визначена і до того ж однозначно, якщо c + dί≠ 0+0ί. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃= x+yί, яке при множенні на z₂ дає z₁. За означенням дії ділення, (c + dί)( x+yί) = a + bί. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)ί = a + bί.

З умови рівності двох комплексних чисел випливає:

c x - dy= a

cy +d x=b

Система має єдиний розв’язок:

x= (a c +bd)\( c²+d²);

y = (bc- ad)\( c²+d²).

Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:

(a + bί)\( c + dί) = (a c +bd)\( c²+d²) + (bc- ad)ί\( c²+d²).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + bί)\( c + dί) = (a + bί)( c - dί)\( c + dί)( c - dί) = ((a c +bd) + (bc- ad)ί )\( c²+d²) = (a c +bd)\( c²+d² ) + ((bc- ad)ί)\( c²+d²).

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклади. Знайти частку комплексних чисел.

а) (2+5ί)/(3-2ί) = (2+5ί)(3+2ί)/(3-2ί)(3+2ί) = (-4+19ί)/13 = -4/13+19ί/13;

б) (3+ί)/ί = (3+ί)(-ί)/ί = 1-3ί;

д) піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, ί¹ = ί, ί²= - 1.

Користуючись рівністю ί²= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

ί³ =ί²ί= - 1ί= -ί; ί = ί³ί = -ίί= 1; ί=ίί=ί; ί=ίί=-1; ί=ίί=-ί; ί=-ίί=1.

Оскільки ί=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ί²= ί =-1, ί³=ί =-ί, ί =ί = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклади. Піднести до степеня:

а) ί = ί =ί = ίί =-ί ;

б) ί = ί = ί = ί²= -1;

в) ί =ί = ί = -ί.

Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.

Приклади. Піднести до степеня двочлени:

1) (2+5ί)² = 4+20ί +25ί² = -21+20ί;

2) (3+2)³ = 27+54ί +36ί²+8 = -9+36ί;

3) (1+ί)² = 1+2ί + ί²= 2ί;

4) (1-ί) ² = 1-2ί + ί²= -2ί;

5) (1-ί) = (1-2ί +ί) ² = (-2ί) ² = 4ί² = -4;