План
1. Поняття зворотної послідовності.
2. Приклади зворотних послідовностей.
3. Зв’язок зворотного рівняння із сумами членів послідовності.
4. Загальна формула для знаходження будь-якого члену зворотної послідовності.
5. Приклади, та розв’язки задач із використанням теорії зворотної послідовності.
Поняття зворотної послідовності є широким узагальненням поняття арифметичної або геометричної прогресії. Як окремі випадки воно охоплює також послідовності квадратів або кубів натуральних чисел, послідовності цифр десяткового розкладання раціонального числа (узагалі, будь-які періодичні послідовності), послідовності коефіцієнтів частки від поділу двох многочленів, розташованих по зростаючих ступенях, і т.д. Звідси видно, що зворотні послідовності в курсі математики зустрічатися досить часто. Теорія зворотних послідовностей складає особливу главу математичної дисципліни, яка має назву дослідженням кінцевих різниць.
Будемо записувати послідовності у вигляді
|
u1,u2,u3, .un, , |
(1) |
або коротко {un}. Якщо існує натуральне число k і числа a1,a2, ,ak (дійсні або уявні, причому ak¹0 ) такі, що, починаючи з деякого номера m і для всіх наступних номерів
|
un+k=a1un+k—1+a1un+k—2+ .+akun (n³m³1) |
(2) |
то послідовність (1) називається зворотною послідовністю порядку k, а співвідношення (2) — зворотнім рівняння порядку k. Таким чином, зворотна послідовність характеризується тим, що кожний член її (починаючи деякого з них) виражається; через одне і ту саму кількість k безпосередньо передуючих йому членів по формулі (2).
Приклади зворотних послідовностей.
Приклад I. Геометрична прогресія.
Нехай маємо геометричну прогресію
|
u1=a, u2=aq, u3=aq2, .,un=aqn—1 |
для неї рівняння (2) набуває вигляду
|
un+1=qun |
Тут k=1 і a1=q. Таким чином геометрична прогресія є зворотною послідовністю першого порядку.
Приклад 2. Арифметична прогресія.
У випадку арифметичної прогресії
|
u1=a, u2=a+d, u3=a+2d, .,un=a+(n—1)d, . |
маємо
|
un+1=un+d |
співвідношення, що не має вигляду рівняння (2) .Однак, якщо ми розглянемо два співвідношення, написані для двох сусідніх значень n:
|
un+2=un+1+d |
|
|
un+1=un+d |
то одержимо з них шляхом почленного віднімання
|
un+2—un+1=un+1—un |
|
|
un+2=2un+1—un |
рівняння вигляду (2). Тут k=2, a1=2, a2=-1. Отже арифметична прогресія є зворотною послідовності порядку 2.
Приклад 3. Числа Фібоначчі. Задовольняють зворотному рівнянню другого порядку
|
un+2=un+1+un |
Приклад 4 Послідовність квадратів натуральних чисел
|
u1=12, u2=22, u3=3, , un=n2, . |
(3) |
Тут un+1=(n+1)2=n2+2n+1 і відповідно
|
un+1=un+2n+1 |
(4) |
Збільшуючи n на одиницю, отримаємо
|
un+2=un+2n+3 |
(5) |
І, отже (віднімаючи почленно (4) від (5))
|
un+2‑un+1=un+1‑un+2 |
Або
|
un+2=2un+1‑un+2 |
(6) |
Збільшуючи в рівнянні (6) n на одиницю, будемо мати
|
un+3=2un+2‑un+1+2 |
(7) |
Звідки (почленно віднімаючи (6) від (7))
|
un+3‑un+2=2un+2‑3un+1+un |
або
|
un+3=3un+2‑3un+1+un |
Ми отримали зворотне рівняння третього порядку. Отже, послідовність (8) є зворотною послідовністю третього порядку. Подібним чином можна переконатися, що послідовність кубів натуральних чисел є зворотною послідовністю четвертого порядку, члени якої задовольняють рівняння
|
un+4=4un+3‑6un+2+4un+1‑un |
Приклад. 5. До зворотних послідовностей відносяться всі періодичні послідовності.: Розглянемо, наприклад, послідовність цифр десяткового розкладу числа
Тут
|
u1=5, u2=7, u3=1, u4=3, |
(8) |
|
u5=2, u6=1, u7=3 |
Очевидно, що
|
un+3= un (n³3) |
Завантажити реферат