Зворотні послідовності

або

а члени послідовності задовольняють зворотнє рівняння вигляду

з початковими умовами a0=0, a1=1, a2=4.

З такого завдання послідовності випливає, що всі її члени – цілі числа, а залишки від ділення членів послідовності на 3 мають утворювати деяку послідовність.

Знайдемо перші члени послідовності цих залишків. Маємо таку послідовність: d0=0, d1=1, d2=1, d3=0, d4=2, d5=2, d6=0, d7=1, d8=1, d9=0, ., яка є періодичною з періодом T=6, а діляться на 3 тільки ті члени вигляду a3k, kZ.

Задача 2. Довести, що кожен член послідовності

Є натуральним числом і переставляється у вигляді 5m2 або m2 (m0N) при парному чи непарному n відповідно.

Розв’язок. Розглянемо допоміжну послідовність . Легко помітити що

Характеристичне рівняння цієї послідовності

Або

Відповідно зворотне рівняння буде таким

З початковими умовами b1=1, b2=. Тепер доведемо методом математичної індукції по kN, що b2k-1 є цілим, а b2k є числом вигляду m, mN (це рівносильне твердженню задачі)

При k=1 твердження вірне: b1=1, b2=

Нехай тепер при деякому kN b2k-1 – ціле, а b2k=m. Тоді

Тобто теж є цілим, та

Тобто має вигляд m1, де m1=4m-b2k-1 є натуральним числом.

Література

1. Маркушевич А. І. Зворотні послідовності.‑М.: Наука, 1975

2. Б. А. Захаров О. А. Сарана Зворотні послідовності //У світі математики – т.6, вип. 4 С. 56-54.