Зворотні послідовності

і, відповідно,

або

Це і формула для знаходження чисел Фібоначчі.

Розглянемо ще один приклад у якому корінь характеристичного рівняння є кратним. Такою послідовністю може бути послідовність квадратів натуральних чисел. Для них зворотне рівняння має вигляд.

і, отже, характеристичне рівняння таке:

або

Воно володіє тільки одним чотирьохкратним коренем: q=1; тому ми й одержуємо тут тільки одну геометричну прогресію зі знаменником 1, члени якої, задовольняють даному зворотному рівнянню.

У подібних випадках доводиться шукати інші простіші зворотні послідовності, що разом, із зазначеною геометричною прогресією можуть скласти базис даного рівняння. У нашому прикладі такими послідовностями будуть

Тепер нехай маємо зворотне рівняння

де — біноміальні коефіцієнти порядку k, що відповідає характеристичному рівнянню

яке може бути подане у вигляді.

Воно має k – кратний корінь q=α; очевидно, що

Розглянемо взагалі наступні тотожності;

Де m=0,1,2,…,k-1, або

Рівність, що відповідає m=0, має вигляд

При цьому можна помітити

Або

Домножимо кожне рівняння (22) (m=1,2, .,k-1) на відповідний множник k(k-1)…(k-m+1) і після цього скористаємося (24), перепишемо його у вигляді

Доведемо тепер, що при m=0,1,2,…,k-1 виконуються слідуючи рівності:

Справді, рівність, яка відповідає m=0, співпадає з (23) і, отже, справедлива.

Міркуючи по індукції, припустимо, що рівності (26) уже доведені для m=0,1,…j (jk-2), і доведемо що рівність, яка відповідає m=j+1 також справедлива. З цією метою введемо многочлен степеня j+1:

Домножаючи рівняння (61) при m=1,2,…j відповідно на числа β1, β2, .,βj, отримаємо

Запишемо рівняння (25), яке відповідає значенню m=j+1, у вигляді

(ми тут використали те, що (k-j)…k=f(k), (k-j-1)… (k-1)=f(k-1),…,(k-μ-j)…(k-j)=f(k-j), .).

Додаючи (28) і (29) почленно, будемо мати

Проте в наслідок (27)

Тому отриманий результат набуває вигляду