Зворотні послідовності

Як відомо, це зворотне рівняння порядку k. Якщо воно виконується для всіх натуральних n, то поклавши n=1, отримаємо

Отже, знаючи u1,u2, .,uk, можна обчислити uk+1. Покладаючи в рівнянні (12) n=2, знайдемо

Тепер вже відомо значення uk+2. Узагалі, якщо m-будь-яке натуральне число, і ми обчислили члени послідовності

то, покладаючи в рівнянні (12) n=m, зайдемо з нього наступний член um+k.

Отже, члени зворотної послідовності порядку k, які задовольняють рівняння (12), задаються однозначно, якщо відомі перші k членів послідовності u1,u2, .uk. Вибираючи їх різними способами, можемо отримати нескінченну кількість різних послідовностей, які задовольняють початкове рівняння.

Нехай ми маємо деяку кількість таких послідовностей, які задовольняють рівняння (12)

Тоді повинні виконуватися рівняння

Взявши довільні числа A,B,…,C, по кількості послідовностей (13), помноживши всі члени першого рівняння (14) на A, другого на B,…, останнього на С і, додавши, отримаємо рівняння

З нього випливає, що послідовність

задовольняє дане рівняння (12). Користуючись довільністю у вибору чисел А,B, .,С, ми можемо, змінюючи ці числа, одержувати, узагалі говорячи, різні значення членів, t1,t2, .

Нехай тепер

яка-небудь послідовність, що задовольняє рівнянню (12); покажемо, що можна підібрати числа A,B,…,C такі, щоб значення перших k членів послідовності (14`) співпадали з першими k членами послідовності членів послідовності (15). З цього буде слідувати, що при будь-якому n буде виконуватися рівність

Таким чином, перед нами відкривається можливість подавати кожну з нескінченної безлічі послідовностей, що задовольняють тому самому зворотному рівнянню порядку k через деякі з них (13) по формулі (16). Реалізація цієї можливості залежить від того, чи можна підібрати числа A,B,…,C так, щоб задовольнялися рівняння:

з довільно заданими значеннями лівих частин u1,u2, .uk.

Щоб дана система (17) мала розв’язок, необхідно та достатньо щоб визначник

не дорівнював нулю.

Система k послідовностей (13), через які члени довільної послідовності, які задовольняють дане рівняння (12), і виражаються за формулами (16) називаються базисом зворотного рівняння.

Для кожного зворотного рівняння порядку k існує нескінченна кількість різних послідовностей, яке його задовольняють. Кожну з них можна скласти з k послідовностей, які задовольняє це рівняння і утворюють його базис, шляхом множення кожної з k послідовностей на A,B,…,C і по членного сумування.

Таким чином для повного розв’язання зворотного рівняння порядку k достатньо знайти лиш кінцеву кількість k задовольняючих його послідовностей, які утворюють базис цього рівняння.

Приклад. Нехай дано зворотне рівняння другого порядку

Його базис повинен складатися з двох послідовностей

Ми виберемо їх, поклавши

(кількість xn і yn як сказано визначається порядком зворотного рівняння). Оскільки зворотне рівняння, переписане у вигляді

показує, що різниця сусідніх членів послідовності є постійною, тобто дана послідовність є арифметичною прогресією. У випадку послідовності {xn} із початковим членами x1=1 і x2=1 ми отримаємо арифметичну прогресію з різницею в нуль.

а у випадку послідовності {yn} із початковими членами y1=0 і y2=1 – арифметичну прогресію різницею 1.

За формулою (16) член. будь-якої зворотної послідовності, що задовольняє даному рівнянню, може бути поданий у виді.