Покажемо отримані результати на конкретних прикладах. Як відомо члени арифметичної прогресії задовольняють рівняння
|
un+2=2un+1—un |
квадрати натуральних чисел — рівняння
|
un+3=3un+2‑3un+1+un |
а куби — рівняння
|
un+4=4un+3‑6un+2+4un+1‑un |
Очевидно, що всі ці рівняння є частинними випадками рівняння
|
|
(37) |
(тут α=1). Загальний член будь-якої послідовності, що задовольняє цьому рівнянню повинний мати вигляд [формула (33)]
|
un=B0+B1(n-1)+…+Bk-1(n-1)k-1 |
(38) |
Щоб знайти коефіцієнти B0, B1,…Bk-1 достатньо розв’язати наступну систему k лінійних алгебраїчних рівнянь із k невідомими:
|
|
(39) |
У випадку арифметичної прогресії k=2 формула (33) набуде вигляду
|
un=B0+B1(n-1) |
А система (39) вигляду
|
|
Очевидно, що B0=u1 є перший член прогресії, а B1=u 2- u1=d – різниця прогресії. Отже,
|
un=u1+d(n-1) |
Ми отримали відому формулу.
Немає потреби робити відповідні викладення для випадку послідовності квадратів або кубів натуральних чисел, тому що ми із самого початку знаємо тут, що un=n2 і un=n3. Однак має деякий інтерес застосувати співвідношення .(38) і (39) до виведення формул для суми членів арифметичної прогресії, а також суми, квадратів або кубів натуральних чисел.
Раніше було доведено, що якщо члени деякої послідовності {un} задовольняють рівняння виду
|
un+k=a1un+k-1+a2un+k-2+…+akun (ak¹0) |
то суми {sn} членів цієї послідовності задовольняють рівняння
|
sn+k+1=(a1+1)sn+k+(a2-a1)sn+k-1+…+(ak-ak-1)sn+1-aksn (n³m-1) |
У випадку рівняння (37), очевидно, що
|
|
Тому
|
|
І рівняння для {sn} може бути подане у вигляді
|
|
або
|
|
Таким чином, якщо ;послідовність {un} задовольняє рівняння виду (37) порядку k, то послідовність відповідних сум {sn} задовольняє рівняння такого ж виду, але порядку k+1. У випадку арифметичної прогресії k=2, а для послідовності квадратів натуральних чисел k=3 і для послідовності кубів k=4; отже, для послідовностей відповідних сум потрібно в указаних вище рівностях (37), (38), (39) брати k на одинці більшим: 3,4 і 5.
а) Сума членів арифметичної прогресії. На основі зроблених зауважень, sn виражаються із формули (38) із заміною (un на sn) при k=3. Отже
|
sn=B0+B1(n-1)+B2(n-1)2 |
Коефіцієнти B0, B1, B2 визначаються з системи (39) ( із тією ж заміною un на sn при k=3)
|
B0=s1=u1, B0+B1+B2=s2=u1+u2=2u1+d, B0+2B1+22B2=s3=u1+u2+u3=3u1+3d |
Розв’язуючи її, отримаємо
|
|
Отже
|
|
Теорія зворотних послідовностей часто використовують при розв’язуванні задач, що стесуються саме послідовностей. Як приклад розглянемо деякі.
Задача 1. Довести, що кожний член послідовності
|
|
(29) |
є цілим числом. Знайти всі значення n
Z, при, кожному з яких число an ділиться на 3.
Розв’язок. Оскільки 
, то a-n=an, а тому достатньо розв’язати задачу для випадку nZ+. Оскільки кожен член послідовності є сумою відповідних членів двох геометричних прогресій із знаменниками 
та 
, то характеристичне рівняння послідовності матиме вигляд:
|
|
Завантажити реферат