Розв’язання. Знайдемо похідну функції
:
.
За умовою y’(x0)=tg
=1 маємо
отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).
Відповідь: А(2;2).
Розділ 2
Застосування похідної
2.1. Правила диференціювання
Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)
для любого х є (a; b). Коротше,
(u±n)’ = u±n’
Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді 
Також, 
Так як
х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
а) 
б) 
в) 
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
для любого х є (a; b). Коротше,
Доведення. Позначимо похідні 
через 
х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді
Навіть так як
то
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо
Теорема доведена.
Приклад,
а) 
б) 
в) 
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо
Приклади.
а) 
б) 
Похідна частки двох функцій .
Теорема. Якщо функції 
мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому 
для любого х є (a; b), то
для любого х є (a; b).
Доведення. Позначимо тимчасово 
через 
знайдемо 
використовуючи визначення похідної.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
а) 
б) 
2.2. Дослідження функції та побудова графіка
Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:
1) знайти область визначення функції та множину її значень;
2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;
4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;
5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;
6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;
7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.
Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.
Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.
Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.
Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.
Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.
Для складних функцій 
можна керуватися такими простими твердженнями:
Завантажити реферат