Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница. У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання. У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.
1.2. Екстремуми функції
Точка х0 називається точкою локального максимуму функції 
, якщо для будь-яких досить малих 
виконується нерівність
.
Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність
.
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.
Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:
Теорема 1.Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або 
, або 
не існує.
Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках 
або не існує, називаються критичними для функції.
Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:
Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).
Якщо для х<х0 
, а для х0<x 
, то для х=х0 функція має максимум.
Якщо для х<х0 , а для х0<x , то для х=х0 функція має мінімум.
Теорема 3.Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо 
, і локальний мінімум, якщо 
.
Якщо ж 
, то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.
Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:
1. знаходять критичні точки функції , тобто точки , в яких 
, або 
не існує;
2. знаходять другу похідну 
і обчислюють значення другої похідної в цих точках.
Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.
Якщо 
в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.
Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:
.
Знайдемо нулі похідної:
х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.
Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах 
, а на інтервалі (-2;1) .
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.
.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.
.
Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання. Функція визначена. Знайдемо її похідну:
Завантажити реферат