Математичні задачі електроенергетики

Рис. 1

Вступ

Розрахунки параметрів електричних систем в різних режимах, пошук, створення і вдосконалення математичних методів і моделей розв'язання цих задач ніколи не були легкими для інженерів. Саме ці проблеми охопює дисципліна «Математичні задачі електроенергетики». Дисципліна є складовою частиною прикладної математики і спрямована лише на розв'язання енергетичних задач.

Прикладна математика, на відміну від теоретичної або чистої математики, являється наукою відшукування і вдосконалення практичних прийнятних методів розв'язку математичних задач, що виникають за межами математики.

Математичний опис електроенергетичної підсистеми, звісно, повинен мати свою специфіку, відмінну від теплоенергетичної чи гідроенергетичної частин системи. При складанні математичного опису необхідно врахувати, електрична система включає в себе силові елементи – генератори, трансформатори, перетворювачі, навантаження і електричні мережі.

Щоб подати математичний опис системи, необхідно у вигляді математичної моделі представити усі зв'язки між змінними величинами процесів. Вивчення цих процесів, влючаючи їх математичну інтерпритацію, напрямлено на забезпечення кращої роботи системи, основна задача якої – вироблення енергії.

1 Побудова та обгрунтування схеми заміщення електричної мережі

1.1 Обґрунтування способу зображення окремих елементів електричної мережі у схемі заміщення

Аналіз умов роботи електричної системи потребує розрахунку її усталеного режиму, метою якого являється визначення таких параметрів режиму, як напругу у вузлах, струми і потужності, що протікають по її окрамим елементам. Для виконання таких розрахунків реальної системи ставиться у відповідність так звана схема заміщення, що являє собою сукупність схем заміщення її окремих елементів, з'єднаних між собою в тій же послідовності, що і в реальній схемі.

Окремі елементи електричної системи в розрахунках усталеного режиму визначаються схемами заміщення, що складаються із елементів електричної мережі: джерел напруги і струму, опорів.

Джерела електроенергії можуть бути представлені у вигляді джерела напруги з ЕДС Е і внутрішнім опором Z (рис. 2.1), або у вигляді джерела струму J, значення якого рівно струму усталеного режиму І (рис. 2.1), причому останній зазвичай зображують так званим визначальним струмом (рис. 2.1).

Навантаження (споживачі ел.енергії) мають схему заміщення або у вигляді опору Z (рис. 2.1), або (аналогічно джерелу живлення) у вигляді джерела струму, рівному взятому з оберненим знаком струму навантаження (рис. 2.1), або ж у вигляді визначального струму (рис. 2.1).

рис. 2.1

З використанням даних позначень схему заміщення електричної мережі можна подати наступним чином:

Рис. 3.

1.2 Зображення схеми заміщення у вигляді графа

Для спрощення зображення електричної мережі, та відображення її структури, схему електричної мережі зображають у вигляді графа, граф — це зображення електричної мережі у вигляді вузлів, і віток які з’єднують ці вузли, причому вітки зображаються без зображення опорів.

Якщо у графі можна вибрати шлях, який з’єднує його любі дві вершини, то цей граф називається зв’язаним, якщо ж це неможливо то такий граф називають незв’язаним. Якщо ребра графа мають фіксовані напрямки то такий граф називають направляючим.

Кожне ребро направленого графа має початкову і кінцеву точки.

Нашу схему електричної мережі можна зобразити у вигляді зв’язаного графа (рис. 5).

Рисунок 4

Тут виділено вітки дерева і хорди графа.

Дерево це найменший зв’язаний підграфграф, який можна виділити у вихідному графі, яка з’єднує усі вузли графа, та немає замкнених контурів.

Хорди це усі інші вітки які не ввійшли до дерева графа.

У подальших розрахунках усе що відноситься до дерева графа, буде позначатись індексом a, а все що стосується хорд графа позначатиметься індексом b.

Також у нашому графі можна виділити 1 замкнений контур.

1.3 Обгрунтування та проведення нумерації віток схем заміщення

В нашій схемі вже вказано нумерацію вузлів, тому нам залишилося лише вказати напрямки віток графу, та їх нумерацію.

Напрямки шляхів графу визначаються таким чином: у дереві графу напрямок обирається від вузла балансу до віток, а вітки хорди по напрямку обходу контуру у якому вони знаходяться.

Нумерують вітки таким чином: вітки дерева нумерують по кінцевих вузлах, усі інші вітки нумеруються довільно (повне зображення графа із нумерацією, напрямками віток та розбиттям на дерево і хорди вказано на рис. 4).

1.4 Визначення та побудова матриці параметрів режиму і параметрів системи для конкретної електричної мережі

Для направленого графа можуть бути визначені:

1. Матриця з¢єднання віток в вузлах (перша матриця інциденції)

2. Матриця з¢єднання віток в незалежні контури (друга матриця інциденції), які служать для узагальненого аналітичного представлення графа. Перша матриця інциденції прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу вершин графа «n», а число стовпців — числу ребер «m». Вона позначається наступним чином:

MS = ( m i j ) i = 1 n j = 1 m

Елементи матриці MS можуть приймати одне з трьох значень :

m i j = +1 , якщо вузол і є початковою вершиною вітки j;

m i j = -1 , якщо вузол і є кінцевою вершиною вітки j;

m i j = 0 , якщо вузол і не є вершиною вітки j;

Друга матриця інцеденції – це прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу незалежних контурів графа, «k» , а число стовпців – числу віток «m». Вона позначається наступним чином:

N ( n i j ), i = 1 k , j = 1 m .

Елементи матриці N можуть приймати одне з трьох значень :

n i j = + 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки співпадають;

n i j = - 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки не співпадають;

n i j = 0 , якщо вітка «j» не входить в контур «і».

Запишемо першу та другу матрицю інциденції для даного графа.

Перша матриця інцеденції:

Перша матриця інцеденції для вузла балансу

Перша матриця інцеденції включаючи вузол балансу