Проходження випадкового процесу через типовий радіотехнічний пристрій

Зміст

Вступ

Розрахункова частина:

1. Обчислення характеристик випадкового процесу на виході лінійної системи;

2. Обчислення характеристик випадкового процесу на виході нелінійного безінерційного перетворювача;

3. Обчислення характеристик випадкового процесу на виході типового радіотехнічного пристрою.

Висновки;

Додатки;

Перелік використаної літератури.

Зміст.

Вступ

Теорія випадкових процесів - це теорія, яка вивчає випадкові величини, що залежать від змінного параметра, яким є час. Кількісно випадковий процес описується випадковою функцією часу , яка в будь-який момент часу t може набирати різні значення із заданим розподілом ймовірностей.

У даному випадку ми маємо випадковий процес, що діє на типовий радіотехнічний пристрій, який складається з двох лінійних систем (вхід та вихід) і одної нелінійної (безінерційний обмежувач).

Розглядаючи перетворення випадкових сигналів лінійними системами, можна користуватися апаратом диференціальних рівнянь, імпульсними характеристиками та комплексними частотними характеристиками систем.

У загальному випадку, коли цікавляться як нестаціонарним, так і стаціонарним режимами роботи системи і початкові умови в системі не нульові, доцільно використовувати апарат диференціальних рівнянь. За нульових початкових умов зручніше користуватися імпульсними характеристиками. З комплексними частотними характеристиками звичайно оперують в тому випадку, коли цікавляться лише стаціонарним станом лінійної системи.

Типові задачі, зв'язані з перетворенням випадкових процесів лінійними системами, можна розбити на дві групи:

1. Задачі, які вимагають визначення математичних сподівань, кореляційних функцій та спектральних густин процесів на виході систем;

2. Задачі, які потребують визначення функцій розподілу вихідного випадкового процесу.

Очевидно, що із розв'язку задач другої групи може бути одержаний розв'язок задач групи першої. Проте, за виключенням того важливого, хоча і окремого випадку, коли діючий на лінійну систему процес є гаусівськім, не існує метода, який би дозволяв безпосередньо знаходити густину розподілу ймовірностей на виході системи.

Для лінійної системи принцип суперпозиції дозволяє звести дослідження реакції системи на будь-яку дію до дослідження реакції системи на типову дію. Як типову звичайно використовують імпульсну дію у вигляді дельта-функції або гармонічного коливання.

Серед нелінійних перетворювань випадкових процесів найпростішим є таке перетворення, за якого значення вихідного процесу у будь-який момент часу визначається лише значенням вхідного процесу в той самий момент часу.

, де - деяка нелінійна функція

В загальному випадку принципове розв'язування задачі за нелінійних безінерційних перетворювань випадкових процесів дається відомою властивістю інваріантності диференціала імовірності.

Але, зважаючи на складності безпосереднього обчислення густин розподілу імовірностей, часто обмежуються знаходженням простіших, але менш повних

статистичних характеристик вихідного процес, наприклад, математичного сподівання та кореляційної функції. Щодо різних видів нелінійних перетворювань для визначення цих характеристик можна відмітити кілька методів:

- поліноміальне перетворення;

- кусково-розривні і трансцендентні перетворення.

1. Обчислення характеристик випадкового процесу на виході лінійної системи.

На типовий радіотехнічний пристрій діє стаціонарний гаусівський випадковий процес з математичним сподіванням і кореляційною функцією . На вході типового радіотехнічного пристрою мамо систему із такими характеристиками: , де . Знайти такі характеристики вихідного процесу :

1. математичне сподівання ;

2. дисперсію ;

3. кореляційну функцію ;

4. спектральну щільність .

1. Математичне сподівання стаціонарного вихідного процесу обчислюємо за таким співвідношенням:

Нехай маємо такі параметри елементів даної системи:

Тоді

Маємо таке значення математичного сподівання на виході системи:

Приймаючи, що математичне сподівання на вході системи нульове, на виході лінійної системи математичне сподівання теж буде дорівнювати 0.

2. Тепер завдання полягає у розрахунку кореляційної функції. Кореляційну функцію процесу обчислюємо згідно із таким виразом:

Враховуючи те, що кореляційна функція має різні аналітичні вирази при і , можна записати:

Далі розіб'ємо цей інтеграл на ряд більш простих інтегралів і тоді можна буде записати так:

Тоді запишемо:

Тоді остаточний інтеграл можна записати у такому вигляді:

Вище приведений інтеграл є занадто громіздким, і для того, щоб уникнути помилок при його розв'язку, розіб'ємо його на 4 окремих інтеграла, сума яких складає вище приведений інтеграл. Потім починаємо інтегрувати кожну його частину окремо: