Таким чином, в історично сформованій системі математичних знань Платон виділяє тільки умоглядну, дедуктивно побудовану компоненту і закріплює за нею право називатися математикою. Історія математики містифікується, теоретичні поділи різко протипоставляться обчислювальному апарату, до межі звужується область додатка. У такому перекрученому виді деякі реальні сторони математичного пізнання і послужили одним з основ для побудови системи об'єктивного ідеалізму Платона. Адже сама по собі математика до ідеалізму взагалі не веде, і з метою побудови ідеалістичних систем її потрібно істотно деформувати.
Питання про вплив, здійснений Платоном на розвиток математики, досить важке. Тривалий час панувало переконання, що внесок Платона в математику був значний. Проте більш глибокий аналіз призвів до зміни цієї оцінки. Так, О.Нейгебауер пише: "Його власний прямий внесок у математичні знання, очевидно, був рівним нулю . Винятково елементарний характер прикладів математичних міркувань, які наводяться Платоном і Аристотелем, не підтверджує гіпотези про те, що Увдокс або Тєетет чому-небудь навчилися в Платона . Його порада астрономам замінити спостереження спекуляцією міг би зруйнувати один із найбільше значних внесків греків у точні науки". Така аргументація цілком переконлива; можна також погодитися і з тим, що ідеалістична філософія Платона в цілому зіграла негативну роль у розвитку математики. Проте не варто забувати про складний характер цього впливу.
Платонові належить розробка деяких важливих методологічних проблем математичного пізнання: аксіоматична побудова математики, дослідження відношень між математичними методами і діалектикою, аналіз основних форм математичного знання. Так, процес доказу необхідно зв'язує набір доведених положень у систему, в основі якої лежать деякі недовідні положення. Той факт, що початку математичних наук "суть припущення", може викликати сумнів в істинності всіх наступних побудов. Платон вважав такий сумнів необгрунтованим. Відповідно до його пояснення, хоча самі математичні науки, "користуючи припущеннями, лишають їх у нерухомості і не можуть дати для них підстави", припущення знаходять підстави за допомогою діалектики. Платон висловив і ряд інших положень, що виявилися плідними для розвитку математики. Так, у діалозі "Бенкет" висувається поняття межі; ідея виступає тут як межа становлення речі.
Критика, якій піддавалися методологія і світоглядна система Платона з боку математиків, при усій своїй важливості не торкалася самої основи ідеалістичної концепції. Для заміни розробленої Платоном методології математики більш продуктивною системою потрібно було піддати критичному розборові його навчання про ідеї, основні поділи його філософії і як слідство цього – його погляд на математику. Ця місія випала на долю учня Платона - Аристотеля.
Система філософії математики Аристотеля
К.Маркс назвав Аристотеля (384-322 р. до н.е.) "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.
До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.
Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що "засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні . Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: "що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".
Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.
Існування математичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:
1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходитися в тому ж самому місці два тіла не в змозі";
2. "Неможливо і те, щоб такі реальності існували окремо".
Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Та або інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо його можна виміряти". Множиною при цьому називається те, "що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться на частині безупинні". Перед тим, як дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що "воно ставиться до категорії кількості" і виявляється насамперед у безупинному. "Що безкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ: із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такий спосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього - .на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, і математичні розміри". Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно є акциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю ., то воно буде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно не неподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця". Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне безкінечне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час безкінечне" не існує, адже " .якщо можливо перерахувати численне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне". Таким чином, безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж - немає.
Завантажити реферат