Динаміка кругового руху матеріальної точки

Основні теоретичні дані…

Методика розв’язку…

рух у горизонтальній площині

рух у вертикальній площині

рух планет та супутників по коловій орбіті

Заключення та висновки

Список використаної літератури

Основні теоретичні дані

Будемо розглядати динаміку руху матеріальної точки по колу, та задачі, що виникають у зв’язку з розглядом цього питання. По-перше, згадаємо, що динаміка – це такий розділ механіки, який вивчає з’вязок між рухом досліджуємих тіл та силами, що діють на ці тіла. Тобто беруться до уваги причини, за яких цей рух відбувається. Машина, наприклад, рухається до гори, завдяки силі, що “надає” їй мотор.

В елементарній фізиці розглядається рух матеріальної точки – так називають тіла, розмірами яких можна знехтувати, по відношенню до розмірів системи, довжини траєкториїї, тощо. Рух такого тіла можна зв’язати з рухом точки, що відповідає центру мас цього тіла. Наприклад, при розгляданні руха Землі навколо Сонця, Землю вважають матеріальною точкою, т.я. розміри Землі набагато менші відстані від неї до Сонця. А саме: радіус Землі м, а відстань до Сонця м. Тоді , тобто радіус Землі більш ніж в 24 000 разів менше відстані до Сонця, і знехтування її розмірами очевидне.

Зв’язок між параметрами руху досліджуємого тіла та силами, що на це тіло діють, математично виражає ІІ закон Ньютона:

(1), де

- сумарний добуток усіх сил, що діють на тіло, - маса, а - прискорення тіла.

При рівномірному обертанні матеріальної точки по колу її прискорення є доцентровим і виражається формулою:

(2), де R – радіус кола,

а - лінійна швидкість матеріальної точки.

Зв’язок між такими параметрами обертального руху, як

– колова швидкість руху;

– частота руху;

– період руху;

надають формули:

(3)

(4)

(5)

У разі обертання з прискоренням до доцентрового прискорення додається ще так зване тангенциальне таким чином, що:

Тангенціальне прискорення зв’язане з кутовим прискоренням :

Як видно з останньої рівності при рівномірному обертанні (=0) тангенціальне прискорення дорівнює нулеві.

Обертальний рух планет та штучних супутників описується за допомогою закону всесвітнього тяжіння, який виражає залежність сили тяжіння від мас притягаємих один до одного тіл, та відстані між цими тілами:

(6),

де - гравітаційна стала:

Класифікація

Задачі на динаміку обертального руху мат. точки в загальному випадку можна класифікувати наступним чином:

1. Рух у горизонтальній площині.

До цього класу задач можна віднести рух автомобіля або велосипедиста по колу. Рух зі зміною радіуса обертання для тіла, що лежить на крузі. А також конічний маятник. Та ін.

2. Рух у вертикальній площині.

Тут розглядаються питання обертання тіла на нитці та на стержні. Рух по опуклому мосту у вигляді напівкола. Та ін.

3. Рух планет та супутників по коловій орбіті.

Методика розв’язку

Рух у горизонтальній площині

1. Спочатку, після аналізу умови задачі, треба нарисовати рисунок. Кажуть, що добрий рисунок – це пів вирішеної задачі. В цьому дійсно є сенс, т.я. тоді рух тіла можна уявити в максимально реалістичному плані, що надає впевненості в розв’язку.

2. На рисунку обов’язково треба нанести вектори всіх тіл, що діють на тіло. Зауважимо, що на рисунку можливо відобразити тільки якесь миттєве положення обертального руху. Тому осі координат треба у кожний момент часу обирати “наново”, окремо. Але це буде виконуватись у кожний момент часу одним і тим самим чином:

3. початок координат краще сумістити з самим тілом як мат. точкою; вісь абцис (ОХ) – спрямувати до центра кола, яке описує тіло під час обертання.

Осі координат обираються для того, щоб потім було зручно на них спроєктувати сили, що входять до рівняння руху.

4. Надалі треба записати ІІ закон Ньютона (1) векторно і в проекціях, з урахуванням формули (2).

Зауважемо, що можно не обираючи систему координат просто проектувати сили на напрямок до центра кола, яке описує тіло під час обертання, та на дотичну до цього кола. (при рекомендованому обранні осей координат це буде те саме).

Для кращого розуміння проблеми розглянемо деякі приклади.

Приклад 1. Рух конічного маятника

Визначити колову частоту (кутову швидкість) конічного ваятника , якщо відома його маса та відстань від точки підвису до площини коливання - . Маятник обертається зі сталою швидкістю.

Конічним маятником є точкове тіло на закріпленій одним кінцем нитці, яке оберається у горизонтальній площині. Нитку вважаємо нерозтяжною.

На кульку діє сила тяжіння , та сила натягу нитки . Т.я. при рівномірному обертанні по коловій траекторії прискорення є доцентровим, ІІ закон Ньютона набуде вигляду: