Динаміка кругового руху матеріальної точки

(5.9)

Звідки знаходимо:

(5.10), за умови (5.8)

Тобто:

(5.11)

Аналізуючи обидва графіки бачимо, що якщо стержень не розірвався внизу, то він не зламається наверху. Тобто справджується формула для максимальної маси (5.7). Такого висновку можна дійти і аналітично, порівнюючи формули (5.7) і (5.10).

Як бачимо обертальний рух в горизонтальній та вертикальній площинах дещо відрізняється один від одного. Але загальним в них є те, що в обох випадках обертальний рух виникає завдяки силам, що їх викликають тіла, які безпосередньо контактують з досліджуючим тілом. В наведених прикладах при русі у горизонтальній площині це сили тертя, у вертикальній – сили натягу нитки тощо. У наступному типі задач доцентрові сили виникають завдяки тілам, що знаходяться на досить великих відстанях. Отже, перейдемо до розгляду обертального руху тіл в умовах всесвітнього тяжіння.

Рух планет та супутників по коловій орбіті

В елементарній фізиці траекторія руху планет по орбіті розглядається як колова. Рух планет та спутників по коловій орбіті виконується завдяки силі всесвітнього тяжіння. Оскільки ця сила завжди напрямлена до центра кола обертання, то вона і є тією доцентровою силою, завдяки якій здійснюється обертальний рух. Тобто в загальному випадку, ІІ закон Ньютона набуде вигляду:

(7)

Тут - сили, що діють на тіло за винятком гравітаційних. Яким чином вибирати – залежить від конкретної задачі. Доречі, поняття прискорення вільного падіння тісно зв’язане саме з обертальним рухом Землі. Розглянемо приклад, ілюструючий картину цього зв’язку.

Приклад 6 Вага тіла на різних широтах Земної кулі.

Вагу одного й того самого тіла виміряли на екваторі й на полюсі за допомогою однакових динамометричних вагів. Визначити співвідношення показів вагів, якщо середній радіус Землі: м, а її маса М = 6×1024 кг.

Користуючись формулою (7) для обох випадків (екватора і полюса) запишемо:

Запишемо це рівняння у проекціях окремо для полюса та екватора, вибираючи вісь проектування з початком у центрі мас тіла й спрямовану до центра земної кулі – до точки О. Тоді, враховуючи, що – відстань до осі обертання Земної кулі, отримаємо:

полюс:

екватор:

(6.1)

(6.2)

Розділивши рівняння (6.2) на рівняння (6.1), отримаємо шукане відношення ваги на екваторі та на полюсі:

(6.3)

Кутову швидкість обертання можемо знайти знаючи період обертання Землі навколо своєї осі: Т = 24 години = 24×60×60=86400 с. Маємо:

Отже (6.3) набуде кінцевого вигляду:

(6.4)

Підставляючи у (6.4) числові знічення параметрів Земної кулі, отримаємо:

Отже бачимо, що вага на екваторі Землі буде незначно більшою, ніж вага на плюсі.

Приклад 7 Перша космічна швидкість

Щоб супутник, чи космічний корабель вийшов на колову орбіту навколо Землі, йому необхідно надати в горизонтальному напрямку певну швидкість, яку називають першою космічною швидкістю. Знайдіть цю швидкість.

На поверхні Землі сила всесвітнього тяжіння між спутником маси та Землею буде дорівнювати добре відомій нам силі тяжіння . Тому формула (7) набуде вигляду:

(7.1)

Звідки знаходимо першу космічну швидкість:

(7.2)

В дійсності супутник не може обертатися над самою поверхнею, у зв’язку з цим постає задача, наведена у наступному прикладі.

Приклад 8 Лінійна швидкість супутника

За допомогою ракети супутник піднято на висоту від поверхні Землі. Яку лінійну швидкість треба надати супутнику, щоб він почав рухатися по коловій орбіті?

Після надання супутнику лінійної швидкості , на нього діє тільки сила всесвітнього тяжіння. Отже запишемо формулу (7) для даного випадку:

(8.1),

де - маса супутника; - радіус Землі, а - її маса.

Біля поверхні Землі сила тяжіння:

, звідки

(8.2)

Підставляючи (8.2) у (8.1), отримаємо вираз для лінійної швидкості супутника:

(8.3)

При ця формула переходить в формулу (7.2).

Заключення і висновки

Отже, ми розглянули методику розв’язку основних класів задач на динаміку рівномірного обертального руху матеріальної точки. Побачили на прикладах, специфіки розв’язку окремих класів. Але скрізь простежується дещо спільне для всіх задач на динаміку обертального руху. Насправді, можна виділити загальний підхід до їх розв’язку. Цей підхід реалізуємо у вигляді алгаритму.

Загальний алгоритм розв’язку:

1. Проаналізувати умову задачі, де необхідно (в більшості випадків) нарисовати рисунок у якийсь фіксований момент часу.