Математичні задачі електроенергетики

Ом

Матриця коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:

2.2 Вибір методу розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь та його опис

Розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь проводимо за допомогою метода Гауса.

2.2.1 Опис методу Гауса.

Розв’язання системи «n» лінійних алгебраїчних рівнянь виду: А * Х = В за алгоритмом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі вихідна система за «n» однотипних кроків перетворюється таким чином, що матриця коефіцієнтів перетвореної системи стає верхньою трикутною. На другому етапі послідовно визначаються значення невідомих від Хn до Х1.

Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:

На першому кроці у вихідній системі рівнянь

а11 ´ х1 + а12 ´ х2 + . + а1n ´ хn = в1

а21 ´ х1 + а22 ´ х2 + . + а2n ´ хn = в2

.

аn1 ´ х1 + аn2 ´ х2 + . + аmn ´ хn = вn

перше рівняння ділиться на а11. Далі х1 виключається із всіх послідовно рівнянь (і=2 .n) шляхом множення першого рівняння кожний раз на аі1 і вирахування із і-го рівняння. В результаті цих операцій отримується система рівнянь із матрицею коефіцієнтів :

.

, де

Виконання операцій першого кроку потребують, щоб а11 не дорівнював нулю.

Другий крок полягає у виключенні х2 із рівнянь 3 .n, які отримали в першому кроці системи шляхом аналогічних операцій при використанні в якості ведучого елемента аnn (1).

В результаті система приводиться до вигляду А(2) * Х = В(2)

Третій і наступні етапи виконуються аналогічно. Формули для розрахунку коефіцієнтів системи рівнянь на довільному кроці записуються так:

На останньому кроці (k = n) визначають .

В результаті перетворень матриці коефіцієнтів А вихідна система рівнянь перетвориться у верхню трикутну:

2.3 Розрахунок та аналіз результатів. Перевірка на відповідність виконання I і II закону Кірхгофа

Матриця контурних опорів:

Ом

Для знаходження контурних струмів запишемо розширену матрицю коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:

Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:

Запишемо матрицю контурних струмів:

А

Згідно визначення хорд графа запишемо .

А мадрицю струмів у вітках дерева графа:

А.

Тоді матриця струмів у вітках графа:

А.

І спади напруг віток схеми такі:

В

Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:

В

В

Напруга джерела буде такою:

В.

2.3.1 Перевірка отриманих результатів за законами Кірхгофа:

Перший закон Кірхгофа:

»0

»0

Другий закон Кірхгофа:

»0

»0

Розрахунок потоків потужності на дільницях електричної мережі, сумарних втрат активної і реактивної потужності, найбільшого значення втрат напруги у мережі

2.4 Перевірка на відповідність балансу активної та реактивної потужностей у вузлах схеми

Тут проводяться розрахунки по визначенню потоків потужності у вітках схеми, а також сумарних втрат активної та реактивної потужностей.

Визначення матриці повної потужності у вітках схеми проводиться у відповідності з виразом:

де – матриця повної потужності у вітках схеми, розміру (n ´ m); m – кількість віток схеми;

Знак «S« позначає складання повних матриць, що включають у себе також вузол балансу;

Знак «Д» – позначає діагональну матрицю;

UYSД - діагональна матриця лінійних напруг вузлів, що включає вузол балансу

В

MS - перша матриця інциденцій, що включає і вузол балансу;

- діагональна матриця спряжених значень струмів у вітках схеми:

А.

Тоді визначимо матрицю повної потужності у вітках схеми:

ВА

Для того, щоб отримати потужність центру живлення треба додати всі елементи останнього рядка матриці SB.

ВА