Множина комплексних чисел

Всякое комплексное число α = a + bi мы можем изображать как точку на плоскости с координатами a и b (рис. 1). Число α называют аффиксом этой точки. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называют комплексной числовой плоскостью. Начало координат, которому соответствует число 0, называют нулевой точкой. При таком изображении комплексных чисел действительные числа изображаются точками оси абсцисс, точки же оси ординат представляют чисто мнимые числа. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, ось ординат – мнимой осью. Сопряженные комплексные числа α и изображаются точками, симметричными относительно действительной оси, противоположные комплексные числа α и –α симметричны относительно нулевой точки.

Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + iy, где x – действительная часть (x = Rez), y – мнимая часть (y = Imz).

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + iy изобра­зим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z|0. (17)

Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = . (18)

Эта формула выражает мо­дуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямо­угольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).