Математичні моделі інфляції

З (1.4), (2.27), (2.2.8), (2.2.10) та (2.2.11) випливає, що рівноважна траекторія росту зайнятості визначається рівнянням:

де

Відмітимо, що рівняння (2.2.13) тотожне (1.28) в тому розумінні, що не залежить від та . Отже рівноважна траекторія росту зайнятості не залежить від оптимальної траекторії і бюджетна політика яка визначена рівнянням (2.2.1), на неї не впливає. Однак ця політика впливає на рівноважну траекторію росту випуску продукції. Дійсно, із (2.2.11) випливає, що . Це пояснюється тиж, що ріст норми оподаткування (обумовлений зменншенням державних позик в приватному секторі) або зниженням частки надходжень від податків, направленою на покриття державних витрат, призводить до збільшення рівноважного відношення капіталу до випуску продукції.

З рівнянь (2.2.3) — (2.2.5) та (2.2.9) — (2.2.12) отримаємо

де

Точні траекторії зміни змінних визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.2.14) — (2.2.16), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.2.14), (2.2.15) та

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння

де

У співвідношення (2.2.1) яке описує вплив зворотнього зв’язку входять обидва параметри політики та . Значення цих параметрів впливає не тільки на стійкість системи, але і на рівноважне відношення капітал — випуск. Припустимо, що бажанне значення (яке являється рівноважним значенням відношення основного капіталу до випуску продукції) визначається як окреме рішення прийнятої політики. При цьому врахуємо, що рівноважна траекторія росту випуску буде тим вища, а початковий рівень споживання тим нижчий, чим більше значення . Таким чином, розглядуючи вплив зміни на стійкість системи будемо припускати що змінюється так, щоб значення залишалося постійним. При цьому при диференційуванні функцій по знак частинної похідної використовується для того, щоб вказати, що сталою величиною є а не . Тепер, припускаючи, що маємо , і при умові, що та , похідна . Тобто додатне значення може здійснювати стабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що задані такі значення праметрів: ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Тоді, якщо , корені (2.2.18) рівні: ; ; а якщо , вони рівні: ; ; . Тобто, в цьому випадку бюджетна політика призводить до ліквідації циклу і більш швидкої збіжності до довгострокового тренду.

Надалі не розглядуються більш складні бюджетні політики, аналогічні грошовим політикам, що описуються рівняннями (2.1.19) та (2.1.39). Це пояснюється тим, що єдиними, що мають практичний зміст бюджетними політиками є ті, при яких відношення заощаджень (особистих та державних) до національного доходу прямує до додатньої константи при . Якщо це припущення справедливе, то жодна практично здійснювана бюджетна політика не може здійснювати вплив на рівноважну траекторію росту зайнятості. Хоча цей висновок очевидний з (2.2.13) і викладених щойно міркувань він може здатися несподіваним, особливо, при співставленні з результатами, отриманими змоделей, де грошові фактори не враховуються. На завершення цього розділу наведемо неформальний опис впливу змін у бюджетній політиці, викликаючих стійкій ріст відношення заощадження — доход. З цією метою ми будемо припускати, що початковий стан економіки відповідає рівноважній траекторії росту.